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什麼是阻尼係數？有什麼用？

什麼是阻尼？阻尼是振動領域很常使用的一個性質，主要特性是能抵銷能量，且抵銷能量的能力會隨著速度越快而越強大。 以下引述維基百科：

阻尼（英語：damping）是指任何振動系統在振動中，由於外界作用（如流體阻力、摩擦力等）和/或系統本身固有的原因引起的振動幅度逐漸下降的特性，以及此一特性的量化表徵。

一個有阻尼的彈簧振子振動示意圖。從振動形式看，這是一個次阻尼體系。 在實際振動中，由於摩擦力總是存在的，所以振動系統最初所獲得的能量，在振動過程中因阻力不斷對系統做負功，使得系統的能量不斷減少，振動的強度逐漸減弱，振幅也就越來越小，以至於最後的停止振動，像這樣的因系統的力學能，由於摩擦及轉化成內能逐漸減少，振幅隨時間而減弱振動，稱為阻尼振動。

所以阻尼特性就是決定物體受外力擾動後，振動多久才會停止的特性。 為了定義阻尼的大小，所以有了阻尼係數來評估。 但不是阻尼越大越好，有些門的設計是會慢慢自動關上，用力去關反而會產生很大的阻力還不會快多少，這就是過阻尼的狀況。

計算阻尼係數的兩種方式：絕對與相對

所以能知道一個物體 （系統）的阻尼係數對判斷反應時間的特性上就非常重要。實務上我們可以讓物體自由震盪，並量測反應過程的特性如位移，加速度對上時間的曲線。 通常單自由度的系統會產生如下圖的隨時間而衰減的曲線，阻尼係數則是決定衰減速度快慢的因素之一(另外一個因素是自然振動頻率)。

利用傅立葉轉換成頻譜就可以得到自然振動頻率。只要找出需要多少時間收斂，就可以進而計算該物體的阻尼係數。

而如何找出收斂時間呢? 基本上有兩種做法，分別是絕對與相對。

絕對

絕對的評估方式是，當震盪的 peak 值小於某個數值以下，就視為已收斂。

PS. 將 Raw data 進行傅立葉轉換與找出 local peak 可以使用程式語言進行運算。我個人是利用 Python 內的 SciPy package.

但是絕對的方式有幾個問題，第一個是到底收斂到多小的數值才算收斂？第二個問題是當振幅越大時，所得到的收斂時間就會大於振幅小的情況，就算兩者的阻尼係數與頻率均相同。如下圖：

兩者的阻尼係數與頻率均相同，但是使用絕對的方式評估下會得到不同的收斂時間

相對

相對的意思則是當震盪的 peak 值小於最大值的一定比例(比如收斂到小於 2%)，視為已收斂。 相較之下，相對的方式就會比較合理，可以排除振幅不同造成的影響。

利用線性迴歸分析計算阻尼係數

而是否只能藉由找出時間才能計算阻尼係數呢? 其實有另外更適合的方式，那就是採用線性迴歸來計算。 藉由剛剛的例子，本身收斂的包絡線會依照以下公式衰減。

$$ y=Ae^{-2 \pi \zeta f t} $$

其中 $$\zeta$$ 是阻尼係數， $$\pi$$ 是圓周率， $$f$$是自然振動頻率

灰色虛線為包絡線

所以當 $$f$$ 已知(藉由傅立葉轉換)的狀況下，求出 $$\zeta$$ 就會相對簡單。

而求出阻尼係數是如何與線性迴歸有關係呢?其實只要簡單的做一下轉換 (公式兩邊取對數) 就可以把原本指數衰減 (Exponential decay) 轉換成線性公式

$$ \ln y=\ln A -2 \pi \zeta f t \implies Y = \beta_0 + \beta_1 t $$

其中 $$-2 \pi \zeta f$$ 就是 $$\beta_1$$ ，也就是直線的斜率。

藍色為原本的包絡線，紅色為對數轉換後的包絡線。可以明顯看出轉換後唯一直線。

利用程式 (如 Python, R 甚至是 Excel) 即可計算出 $$\beta_1$$ 的最佳估計值。參考公式

總結一下利用自然震動的衰減資料找出阻尼係數的步驟:

1. 利用傅立葉轉換計算出自然振動頻率 (Python Scipy package)
2. 找出 local peak 值與相對應的時間點位 (Python Scipy package)
3. 對 local peak 的 Y 軸資料取自然對數 (natural log)，轉換成直線
4. 針對轉換後的資料進行迴歸分析，求得斜率 $$\beta_1$$ ，將 $$\beta_1$$ 除以自然振動頻率即可得到阻尼係數 $$\zeta$$ 。

如此一來，我們就可以計算出上述例子的阻尼係數為。該例估計的 $$\beta_1$$ 為 -0.1，而自然頻率為 0.16Hz，所以得到阻尼係數為 0.0995。

PS. 本篇主要介紹如何利用迴歸分析計算阻尼係數的概念，計算自然頻率、找出 local peak 以及迴歸分析的程式碼會其他相關文章再詳細介紹。

使用迴歸分析的好處？

用回歸分析來找阻尼係數看起來需要用到對數轉換與統計分析，似乎比起用相對的方式找出時間要麻煩許多，但是這個方式在實務使用上有許多優勢：

• 量測資料非理想資料，會有環境、設備等誤差影響造成誤判。使用迴歸分析可以將所有點納入考量，不受特定點偏差的影響。

這張圖是實務上量測出來的數據，可以看出約 3 秒後的數據受到雜訊擾動

• 轉換成直線而非曲線，適合肉眼直接觀察，檢測出差異，並且例用迴歸分析的 $$R^2$$ 的數值來量化收斂狀況是否穩定。如下列圖組表示:

這張圖為實務上原始數據

此圖為包絡線的原始數據，要看出其收斂的穩定性有相對難度。

可以看出前段 (3 秒前， $$LnG > -4$$ 前)收斂相對穩定 (接近直線)。3 秒後的數值比較雜亂，應該是數值較低，受到雜訊的影響程度較高。

若排除 $$LnG < -4$$ 的數據後進行迴歸分析，得到 $$R^2 = 0.9935$$，表示收斂性非常穩定。

• 只需要足夠的資料進行迴歸分析，不需要一定等到收斂完成才能進行判讀。傳統方法上，如果設定的閥值 (Threshhold) 太小，在記錄資料的時間不足下，抓不到收斂時間，也就無法依此計算阻尼係數。但使用迴歸分析的方式，只要有足夠的 local peaks (大約 15~20 點) ，即可計算出阻尼係數。

線性迴歸分析雖然是很基礎的統計分析工具，但是卻非常萬用，很多生活/工作上的不同場景都有機會套用。像本文介紹的，使用統計分析的眼睛去看數據，可以得到完全不同的分析方式，得到更穩定，更合理的分析結果。

2023/05/14 新增:

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